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5.大学入試問題とテイラー展開V

 前回の続きです.【問題2.2】(cf.テイラー展開(2))の特別な場合はよく大学入試で出題されます.また,大学の試験で出題される場合もあるので,大学生の人も関係ないと思わないでしっかり勉強しておきましょう.(元生徒から大学院の入学試験問題について質問されることがありますが,大学入試で出題される問題が大学院の入試で出題されることがあります.)
 まず,復習しておきましょう.
f (x) を何回でも微分可能な関数とすると,
が成立することをテイラー展開(2)で示しました.この式で f (x) = とした場合がよく出題されます.

問題5.1
n 0以上の整数とし,
とおく.
(1) In(x)とIn+1(x)の関係式を求めよ.
(2) 次式が成立することを示せ.
(3) n ≧1,0<x n とするとき,次の不等式が成立することを示せ.
(注) 0!=1とします.類題が2008年金沢大,鹿児島大で出題されました.

解答


 さらに
x=1とした場合もよく出ます.

問題5.2n を0以上の整数とし,
とおく.
(1) InとIn+1の関係式を求めよ.
(2) 次式が成立することを示せ.
(3) 次式が成立することを示せ.
解答

 次の問題は少し見かけが違いますが,同じ
タイプの問題です.なお,この問題の方が上記の2つの問題より以前はよく出題されました.

問題5.3n を0以上の整数とし,
とおく.
(1) InとIn+1の関係式を求めよ.
(2) 次の不等式が成立することを示せ.
(3) 次の極限値を求めよ.
解答

【補足】
最初に書いた式において,
f (x)x=1とおくと,
ここで,u=1−t とおくと,
もちろん,次式が成り立つことを示させる問題も大学入試で出題されています.
ところで,
ですが,次式を示させる問題が2007年に高知大学(理)で出題されました.
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