Taylor展開
数理の部屋に戻る トップページ

 大学の微積分でよく質問されるのはテイラー展開なので,ここにひとまとめにして説明します.テイラーの定理(テイラーの公式)の証明もここで与えますので,参考にして下さい.証明はテイラー展開(2),(6)で与えますが,高校生でも十分に理解できる証明ですので,意欲のある高校生は是非勉強して下さい.それから,テイラー展開に関連する問題は大学入試によく出題されるので,受験生にも役に立つように配慮しますが,もう大学入試は関係ないと思わないようにして下さい.そんなことでは単位を落としますよ!3〜5も是非みて下さい.
 ところで,「数学100の発見,日本評論社」のテイラー展開(一松信執筆)についての解説をみると,テイラー(Brook Taylor 1685-1731)が1715年に「増分法」で初めてテイラー展開を論じたとのことです.その展開式は,現在マクローリン展開といわれることもある,0を展開の中心とする展開式です.マクローリン(Colin Maclaurin 1698-1746)が発見したのではありません.そして,一般的な剰余項の公式(テイラーの定理)を扱ったのはラグランジュ(J.L.Lagrange 1736-1813)です.それから,テイラー展開という名をつけたのはオイラー(L.Euler 1707-1783,「微分法」1755年)です.なお,「カッツ数学の歴史,Victor J. Katz著,共立出版」によると,テイラーの「増分法」が発表される40年以上も前に,グレゴリー(James Gregory1638-1675)によって,0を展開の中心とする展開式が発見されています.グレゴリー展開というべきかもしれません.
 なお,自然科学Q&Aでもテイラー展開とマクローリン展開について解説しています.

目次

1.テイラー展開(1) 多項式関数


2.テイラー展開(2) 有理関数、初等超越関数

3.テイラー展開(3) 大学入試問題とテイラー展開T

4.テイラー展開(4) 大学入試問題とテイラー展開U

5.テイラー展開(5) 大学入試問題とテイラー展開V

6.テイラー展開(6) テイラーの定理

7.テイラー展開(7) 数値計算(1) 指数関数と三角関数

8.テイラー展開(8) 数値計算(2) 対数関数

9.テイラー展開(9) 数値計算(3) 一般二項定理 (工事中)

10.テイラー展開(10) オイラー変換 (工事中)