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1.正多角形による近似
 
 円周率の近似値は,有名な「πの歴史,Petr Beckmann著,蒼樹書房(または,ちくま学芸文庫)」によると,紀元前2000年頃には得られていたようです.しかし,厳密にπの評価式を最初に求めた人は,「
パソコンで挑む円周率,大野栄一著,ブルーバックス,講談社」によると,アルキメデス(Archimedes B.C.287-B.C.212)です.その当時は分数で近似値を表すのですが,アルキメデスがどのようにして求めたかについては,「パソコンで挑む円周率」のp67〜p72でくわしく解説されています.この本には色々なπの公式の証明がきちんと書かれてあり,公式の証明に興味ある人にとってはとても参考になる本です.なお,最近「πの計算 アルキメデスから現代まで,竹之内脩,伊藤隆著,共立出版」が出版されましたが,恐らく日本語で書かれたπを主題とする本の中でガウス・ルジャンドルの公式(いずれ証明も含めて解説します.)の証明まで書いてあるのはこの本だけだと思います.それから,コンピューターによる計算に興味ある人は「高速乗算法と素数判定法 マイコンによる円周率の計算,和田秀男著,上智大学数学講究録No15」(この本はマテマティカで入手できます.)をおすすめします.この本には,大きな数の計算方法,ルドルフのπの計算,関孝和のπの計算,建部賢弘のπの計算,eやπの100桁計算,ガウス・ルジャンドルの公式の証明,高速フーリエ変換(Fast Fourier Transform,普通FFTという.)等の解説があります.ただし,ある程度数学とプログラムの知識がないと読みにくいかもしれません.
 
1.1 円周率は3?
 小学校で円周率を3としようという話が出たとき,そのことに対する批判がかなり出たことがあります.(私も言いたいことがありますが,ここでは控えておきます.)そして,なんと東大(2003年)でπ>3.05であることを示させる問題が出ました.πが3より大きいことは右図のように直径が1の円(円周の長さはπ)に内接する正六角形(右図参照)を考えれば分りますが,この問題は正八角形を考えれば容易に解けます.不十分な解答をする人が多いので,解答を与えておきます.
 
問題1.1π>3.05であることを示せ.

解答←クリックすると解答が表示されます.

1.2 正n角形と円周率
 正n角形の周の長さに関する問題は大学入試でわりと出題されていますが,解けない受験生がかなりいます.次の問題を考えてみましょう.

問題1.2
 直径1の円に内接,外接する正
n角形の周の長さをそれぞれ p(n),P(n)とおくと,次式が成り立つことを示せ.
解答

 なお,念のため確認しておきますが,
p(n)<π<P(n)であり,n →∞とすると,p(n),P(n)→πとなります.次に,この問題で示した式を用いると,機械的にπの近似値を計算できることを示しましょう.
 数列{
an},{bn}を
で定めると,
となります.しかし,あまり速くπに収束しません.
(参考文献)
 解析概論,高木貞治著,岩波書店 p33

1.3 πを計算する
プログラム
 このやり方でπを計算する
プログラム(十進BASIC使用)の1例を書いておきます.BASICを持っていない人は例えばフリーソフトの十進BASICをダウンロードして使ってみて下さい.なお,アルキメデスは正96角形の周の長さからπの近似値を出していますが,それは下記の下線部分になります.ところで,ルドルフ(Ludolph 1540-1610)は生涯をかけて正262角形の周の長さまで計算してπの値を小数35位まで求め,墓標にこの値を刻ませました.それで,ドイツではπをしばしばルドルフ数というそうです.しかし,この効率の悪い方法でも,パソコンで簡単に計算できてしまいます.十進BASICでは1000桁の実数の計算ができますので,興味ある人は計算してみて下さい.(オプション→数値をクリックして設定できます.)

(
プログラム1.1)

LET A=SQR(3)/6
LET B=1/3
FOR I=1 TO 10 STEP 1
LET A=(A+B)/2
LET B=SQR(A*B)
PRINT I,1/A,1/B
NEXT I
END
(注)十進BASICでは行番号はつけなくてもかまいません.

プログラムの解説←BASICがよく分からない人はクリックしてみて下さい.

 計算結果

  n

  1  3.21539030917347 >π> 3.10582854123025
  2  3.1596599420975 >π> 3.13262861328124
  3  3.14608621513144 >π> 3.13935020304687
  4  3.14271459964536 >π> 3.1410319508905
  5  3.14187304997981 >π> 3.14145247228545
  6  3.14166274705683 >π> 3.14155760791184
  7  3.14161017660467 >π> 3.1415838921483
  8  3.14159703432151 >π> 3.14159046322803
  9  3.14159374877133 >π> 3.14159210599925
 10  3.14159292738508 >π> 3.14159251669214

(参考)π=3.1415926535 8979323846 2643383279 50288419716 9399375105 82097…

 
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